A minap elhunyt Benoit Mandelbrot matematikus, a fraktálgeometria atyja. Sokak szerint a legnagyobb hatású tudósa volt a közelmúltnak, aki nem kapott Nobel-díjat. Bár nincs matematikai Nobel-díj, kutatásai a természeti és társadalmi jelenségek szinte minden területét érintették, így akár több kategóriában is díjazhatták volna.
Az egyik legzseniálisabb magyar matematikus, Riesz Frigyes 1952-ben a Matematikai Lapok hasábjain nehéz feladat elé állította kollégáit, a megoldást pedig ő sem tudta. A feladat nem csak a felsőbb matematikát hírből sem ismerő földi halandók számára bizonyult kemény diónak, hiszen nem érkezett rá helyes megfejtés. Két évvel később Hajós György szerkesztő azt írta a lapban, hogy megoldás mindaddig nem érkezett, de ha a jövőben érkezik, azt majd közlik, olvasható a Nemlineáris blogon.
A dolog első hallásra bogaras tudósok kitalálós játékának tűnhet, a probléma vizsgálata néhány évvel később azonban a XX. század egyik legnagyobb hatású matematikai felvetéséhez vezetett. A most elhunyt Benoit Mandelbrot ugyanis éppen az efféle feladatok tanulmányozása után jutott el a fraktálok fogalmának megalkotásához.
– Mandelbrot valóban a Riesz által felvetett problémát tanulmányozva fedezte fel a később Mandelbrot-halmaznak elnevezett fraktált, a kettejük közötti kapcsolatról azonban nem tudunk semmit. Riesz, miután felvetette e kérdést, a matematika egészen más területei felé fordult, többet nem foglalkozott ezzel – mondja Simon L. Péter, az Eötvös Loránd Tudományegyetem (ELTE) alkalmazott analízis és számításmatematikai tanszékének munkatársa, aki Tóth Jánossal közösen írt Differenciálegyenletek című könyvében először vetette föl e matematikatörténeti érdekességet. – A feladatban komplex vagy valós számokból kiindulva végtelen sokszor hajtjuk végre a függvény utasításait, minekutána egy sorozat alakul ki. A fraktálokat pedig pontosan ilyen végtelen sorozatok segítségével határozzák meg.
Talán véletlen tehát, hogy Riesz Frigyes Mandelbrotot megelőzően vetette fel a fraktálok létezését előre jelző problémát, egyesek azonban úgy gondolják, hogy mégsem az, és a történet magyar vonatkozásainak még nincs vége. Mandelbrot ugyanis Neumann János utolsó posztdoktori kutatója volt a Princeton Egyetemen, amelynek könyvtára járatta a magyar Matematikai Lapokat. Talán Neumann olvasta is, és ő jelölte ki Mandelbrot számára a kutatási témákat. Erre azonban semmi bizonyíték nincs, és Mandelbrot halálával valószínűleg már sosem derül ki az igazság.
A fraktálok talán a leggyakrabban ábrázolt matematikai objektumok, szépségük pedig valóságos sztárrá avatta Benoit Mandelbrotot. Néhány évvel ezelőtt előadást tartott a budapesti Francia Intézetben. Alig lehetett az előadásra bejutni, a csilláron is lógtak, pedig attól tartok, néhány matematikust nem számítva vajmi kevesen értettek akár egy szót is abból, amiről beszélt. Ebben az sem segített, hogy az intézethez illően franciául adott elő, a szinkrontolmács pedig talán beszélt franciául, de a matematika igencsak kifogott rajta. Mandelbrot kultuszának talán legvégletesebb megnyilvánulása a Mandelbrot-mackó. Játékos kedvű fizikusok egy játék mackó „kezei” helyére kisebb mackókat varrtak, amelyek „kezeit” megint csak kisebb mackók helyettesítik, akár csak a fraktáljellegzetességeket követő fák ágai. A róla készült kép néhány nap alatt meghódította az internetet.
De mit takar valójában a fraktál elnevezés, és miért vált ismertté még a matematikához nem konyító sokak körében is? A fraktál szó nem létezett Mandelbrot előtt, ő nevezte el így az „önhasonló” geometriai formákat adó sorozatokat.
– Fraktálokat, bár nem így nevezték őket, már jóval Mandelbrot előtt is tanulmányoztak a matematikában. Ezek olyan halmazok, amelyeket ha „kinagyítunk”, struktúrájuk hasonlít a nagyobb léptékben vett struktúrához – nyilatkozta lapunknak Keleti Tamás, az ELTE analízis tanszékének munkatársa. – Mandelbrot jelentősége abban áll, hogy felfedezte, a természet tele van fraktálszerű mintázatot mutató jelenségekkel. Egyik első dolgozatának például az volt a címe: Milyen hosszú Nagy-Britannia partvonala?
Amint Mandelbrot a The New York Timesnak adott interjújában elmondta, Anglia térképe nagy hatással volt rá. Rájött, hogy nem képes válaszolni arra az egyszerű kérdésre, hogy milyen hosszú a Brit-szigetek partvonala. A válasz ugyanis attól függ, hogy milyen közelről nézzük. Más és más hosszúság jön ki, ha eltérő méretarányú térképeket veszünk alapul. De még ha a valóságban próbáljuk is megmérni, nem tudjuk az összes part menti kő összes mélyedését végigkövetni. „Itt egy kérdés, amelyről azt gondolhatnánk, hogy általános iskolás geometriatudással megoldható, pedig megoldhatatlan. A partvonal hossza bizonyos értelemben végtelen” – mondta Mandelbrot.
– A bonyolult fraktálábrákat viszonylag egyszerű függvények hozzák létre. Ennek megfordítása is igaz: a bonyolult, nem feltétlenül fraktálszerű struktúrákat a leghatékonyabban fraktálszerűen lehet kódolni. Széles körben használják e technológiát például az adattömörítésben – nyilatkozta lapunknak Kertész János, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem fizikaintézetének igazgatója, a Fractals című tudományos folyóirat szerkesztőbizottságának tagja. – A fraktálszerű objektumok létezésére már a XIX. század második felében felfigyeltek a matematikusok, de a korszellem a folytonos, a szabályszerűségeket pontosan követő matematikai jelenségeknek kedvezett. Valóságos szörnyetegként tekintettek a fraktálokra. Mandelbrot jelentősége az én értelmezésemben éppen ezért abban áll, hogy kiszabadította őket az elszigeteltségből.
Az önhasonlóság fogalmát maga Mandelbrot érzékeltette talán legszemléletesebben egy fizikai Wolf-díjasokat bemutató könyvbe írt tanulmányában. Eszerint, ha megnézünk egy karfiolt, annak virágzata (tehát a fogyasztható része) kisebb darabokra bontható. Ezeket közelebbről szemügyre véve azonban azt tapasztaljuk, hogy e karfiolkák csak méretükben különböznek a nagy karfioltól, szerkezetük azonban meglepően hasonló ahhoz. Őket is darabokra lehet bontani, a szerkezet pedig nem változik számos lépésen keresztül. A fraktál tehát olyan ábra, amely részeiben is birtokolja az egész szerkezetét, így ha – divatos szóval – „rázoomolunk” egy részletére, a látott kép nem változik.
A fraktál név a latin fractus ’törött’ kifejezésből származik, és arra utal, hogy e formák kiterjedését általában nem lehet egész számú dimenziókkal megadni, hanem csak törtszámokkal fejezhető ki. Ennek megértéséhez egy pillanatra meg kell állnunk, és meg kell vizsgálnunk, mit is jelent pontosan a dimenzió fogalma.
– A dimenzió száma azt jelenti, hogy ha nagyítunk egy objektumot, akkor hogyan változik a mérete. Ha egy síkbéli, kétdimenziós négyzetet nagyítunk kétszeresére, a területe négyszeresére, a kettő második hatványára változik. Ha a háromdimenziós kockával tesszük ugyanezt, térfogata nyolcszorosára, a kettő harmadik hatványával változik – magyarázza Keleti Tamás. – A fraktálként viselkedő halmazok mérete sokszor nem a nagyítási arány egész számú hatványával nő, így az ő dimenziójuk törtszám lesz.
A probléma felismerése, amely több évtizednyi megfeszített munka után vezetett a fraktálgeometria elméletének kifejlesztéséhez, a térképészetnél sokkal szélesebb körben bizonyult alapvetőnek. Majd hét évtizednyi tudományos pályafutása során Mandelbrot az élet számos területére alkalmazta sikerrel az elméletet a hópehely képződésétől az emlősök agyának fejlődésén és a galaxisok szerkezetén keresztül a tőzsdei árak fluktuációjáig. A fraktálok tanulmányozása éppen ezért közelebb vihet minket a természetben fellelhető mintázatok felépítésének megértésében. Egyes kutatók szerint a fraktálszerűen elágazó, ismétlődő, csavarodó élőlények testfelépítése fraktálok nélkül nem is jöhetett volna létre. Az örökítőanyag, a DNS ugyanis nem képes minden sejt elhelyezkedését külön-külön kódolni. Ehelyett a szervező elv öröklődik, amely mentén haladva, végeláthatatlanul ismétlődő reakciók során a szervezet sejtjei a helyükre kerülnek. A fraktálok ismerete tehát fontos a világ működését megérteni szándékozó alapkutatások számára. De ennél sokkal kézzelfoghatóbb, esetenként vagyonokat termelő alkalmazásukat sem kell nagyon keresni. A filmipar fraktálokon alapuló grafikai eljárásokat használ, hogy szép, mégis természetesnek ható űrbéli vagy magashegységi hátteret teremtsen például a Star Trek-filmekhez. Mandelbrot maga demonstrálta, hogy a fraktálokat alkalmazva meglehetősen jól előre lehet jelezni a pénzpiacon tapasztalható áringadozásokat, ami gyakran életmentő lehet a brókerek számára. A mexikói-öbölbéli olajkatasztrófa után még fontosabbá vált, hogy pontos becsléseket legyünk képesek készíteni a tengerbe ömlő olaj viselkedéséről, miután a tengeráramlatok sodrásának van kitéve. Az előzőek alapján talán nem meglepő, hogy az olajfoltok viselkedése is fraktálszerű jellegzetességeket mutat. A meteorológusok fraktálokat alapul véve tudják a legvalósághűbb módon modellezni a felhők képződését és mozgását, ami elengedhetetlen a pontos időjárás-jelentések készítéséhez.
– Miért ilyen elterjedtek a fraktálok világunkban?
– A kérdést meg kell fordítanunk: valójában az a furcsa, hogy a letisztult, euklideszi geometria egyáltalán működik. Csak az ember által alkotott tárgyakat és az egyensúlyi kristályokat határolják egyenes vonalak, sík lapok vagy sima felületek. A fraktálok a természet alapvető megjelenési formái – mondja Kertész János. – Fraktálszerűen szerveződnek a fák ágai, a hópelyhek, a csipkézett hegycsúcsok, a vérerek szövedékei, a felhők. Ebben az a megdöbbentő, hogy e fraktálok kialakulásában gyökeresen eltérő folyamatok játszódnak le, mégis működnek olyan önszerveződő mechanizmusok, amelyek kialakítják e struktúrákat. A természetben ugyanis alig találunk egyensúlyi folyamatokat, a jelenségek zöme nem egyensúlyi történésekre vezethető vissza, ezek instabilitássorozatai alakítják ki a fraktálokat.
Persze a matematika iránt alig érdeklődő laikusok figyelmét nem a törtszámú dimenziók absztrakt, nehezen elképzelhető jelensége ragadta meg a fraktálokkal kapcsolatban. Sokkal nagyobb szerepe volt ebben a nyolcvanas években rohamos fejlődésnek induló számítástechnikának és a minden új iránt rajongó Arthur C. Clarke sci-fi írónak. Clarke a fraktálok és Mandelbrot leghíresebb „alkotása”, a Mandelbrot-halmaz valóságos prókátorává lett: a BBC dokumentumfilm-sorozatától kezdve az űrkutatók előtt tartott tudományos előadásaiig mindenhol népszerűsítette az elméletet.
– A nyolcvanas évek személyi számítógépei számára hatalmas kihívás volt a Mandelbrot-halmaz részleteinek ábrázolása, ez pedig különösen mitikussá tette a fraktálgeometriát a műszaki érdeklődésű fiatalok körében – nyilatkozta lapunknak Képes Gábor muzeológus-író, Clarke-kutató. – A fraktálok népszerűsége nem egyszerűen az ábrák esztétikai szépségében rejlik. A fraktálok nehezen megfogható matematikai jelenséget tettek képileg megjeleníthetővé. Bennük van a végtelen érzete, hiszen akár egy végtelen univerzumban, minden részletében ott van egy felfedezetlen mikrovilág. Clarke költői képe szerint a Mandelbrot-halmaz nem más, mint egy kincses térkép. Csakhogy e térképen nem a kincs helye van megjelölve, hanem a térkép maga a kincs.
Clarke, rendkívül termékeny író lévén, természetesen regényeiből sem hagyta ki a fraktálok témáját. A tőle korántsem szokatlan öniróniával az 1990-ben megjelent A nagy zátonyok kísértete című regényében éppen a Mandelbrot-halmaz körüli tudományos felhajtást figurázta ki.
– A regény főszereplője a Mandelbrot-halmaz bűvöletébe beleőrülő matematikus, akinek elmebaját mandelmániának nevezte el Clarke. A függelékben megjegyzi, hogy a regény írásakor mandelmániás eseteket addig nem diagnosztizáltak, de nem lenne meglepve, ha a könyv megjelenésének idején már szép számban lennének ilyen betegek. Ebben az esetben viszont minden felelősséget elhárít magától – mondja Képes Gábor. – A könyvben Clarke pontosan leírja a fraktálok matematikai hátterét, és kulturális hatásukat is felvázolja.
A kutatásait elindító zegzugos partvonalra visszautalva Mandelbrot így foglalta össze életét egyik utolsó interjújában: „Ha az elejét és a végét tekintjük, a pályafutásomban semmi rendkívüli nem volt. Csakhogy az eleje és a vége között nem egyenes, hanem igencsak csipkézett vonal vezetett.”
2010. november 13.
