Sokunk gyermekkorának egyik emlékezetes játéka volt a keljfeljancsi, a baba, amely mindig lábra állt, bármerre is döntöttük el. E furcsa képességét a talpában elhelyezett nehezéknek köszönhette. De vajon lehet-e olyan homogén, egyfajta anyagból készült tárgyat alkotni, amely képes talpra állni? A Műegyetem kutatói
találták meg a választ. Alkotásukat, a gömböcöt most bárki megtekintheti a Művészetek Palotájában. A feltalálóval beszélgettünk egyetemi irodájában, miközben életünk első olyan labdájával gurigáztunk, amelynek ára egy Mercedesével vetekszik.
Az ismert bonmot szerint a matematika
igen elegáns megoldásokat talál
olyan problémákra, amelyek matematika
nélkül nem is léteznének.
Amikor matematikus kutatók
bejelentik, hogy évtizedes munkával
bizonyítottak vagy cáfoltak
egy tételt, sokunk magát a
tételt sem érti, nemhogy a
bizonyítás mikéntjét.
Történetünk azonban ebből a szempontból is különleges,
hiszen a kérdés is egyszerű, a megoldás pedig a
szó szoros értelmében kézzel fogható. A válasz helyessége
bárki számára könnyen belátható, ha rendelkezésére
áll egy asztal és néhány perc, amelyet önfeledt
gurigázással tud tölteni.y
A Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi
Egyetem szilárdságtani és tartószerkezeti tanszékén
találkozunk Domokos Gábor tanszékvezetővel, aki
kollégájával, Várkonyi Péterrel közösen találta meg a
választ arra a kérdésre, amely az utóbbi évtizedben
izgalomban tartotta a matematikusokat. Ez pedig így
hangzik: létezik-e olyan homogén (minden pontján
azonos sűrűségű anyagból készült) test, amelynek
csak két - egy stabil és egy instabil - egyensúlyi helyzete
van?
Domokos elmondása szerint matematikai
képletek segítségével belátható az, hogy legalább
két egyensúlyi helyzete minden tárgynak van.
Az egyik stabil, ami azt jelenti, hogy ha kimozdítjuk
ebből a helyzetéből, akkor visszatér ide, míg az instabil
egyensúlyi ponton elvileg képes ugyan megállni,
de ha kicsit kimozdítjuk onnan, akkor elgurul, és
oda többé már nem tér vissza. Gondoljunk egy kockára!
Minden lapján van stabil egyensúlyi pontja, de
vannak instabil egyensúlyi pontjai is, mégpedig a
csúcsain.
Domokos Gábor a kilencvenes évek eleje óta az
egyensúlyi helyzetek vizsgálatával foglalkozik. Kezdeti,
síkbeli kutatásaitól a térbeli "gömböckérdés"
irányába azonban egy 1995-ös találkozása indította el
Vlagyimir Arnolddal, a ma élő egyik legnagyobb matematikussal.
Arnold, meghallgatva a magyar mérnök
beszámolóját kutatásairól, közölte vele, hogy
amivel addig foglalkozott, kissé érdektelen, a gömböc
megtalálása lenne az igazán érdekes feladat. Akkoriban
sok matematikus arra tett volna, hogy nem létezik
gömböc.
Arnold azonban más véleményen volt. Bár Domokos
akkor még nem látta át teljesen a kérdés egyetemességét,
a következő években sokat gondolkodott a
lehetséges megoldásokon.
- Egyre közelebb jutottam a megoldáshoz, és
megértettem, hogy ez egy gyönyörű szép kérdés.
Azért gyönyörű, mert Arkhimédésznek fel lehetett
volna tenni, sőt lehet, hogy ő meg is tudta volna válaszolni.
Nem kell hozzá bonyolult matematika, nagyon
egyszerűen meg lehet fogalmazni, meg lehet érteni a kérdést, de nagyon nehéz rá a válasz - mondja
Domokos.
Az utolsó két és fél évben, amikor Várkonyi Péter
is bekapcsolódott a munkába, már naponta ezzel a
kérdéssel foglalkoztak.
- Természeti objektumokból, kövek alakjából merítettük
az ötletet - mutat Domokos Gábor az asztalon
heverő több száz kavicsra. A tanszékvezető egyszer
elment a feleségével nyaralni, amikor még nem
tudták, hogy létezik-e a gömböc. Meggyőzte a feleségét,
hogy gyűjtsenek kétezer kavicsot a tengerparton,
és osztályozzák őket alakjuk szerint. - Ezután az ember
vagy elválik, vagy jobb lesz a házassága - teszi
hozzá nevetve. Ha találtak volna ott egy olyan kavicsot,
amely mindig visszagurul ugyanabba a helyzetbe,
akkor egy csapásra megoldották volna Arnold
kérdését, hiszen a kavics puszta léte bizonyította volna
a sejtés helyességét. - Az emberek többsége úgy
gondolja, hogy a matematikai kérdések megoldása
mindig hosszú képletek után jön ki. Itt nem a képleteken
van a hangsúly, ez egy geometriai kérdés - magyarázza
Domokos. A gömböc alakjának megtalálásához
a teniszlabda egymásba fonódó rajzolata adta a
végső lökést. A kutatók azt is bebizonyították, hogy
végtelen számú, különböző alakú tárgy képzelhető el,
amelyek mind talpra képesek állni, bármilyen helyzetben
helyezzük őket egy vízszintes felületre. A megalkotott
gömböc különbözik leginkább a gömbtől a
kutató szerint, és a jelenleg rendelkezésre álló technológiával
ezt lehet a legkönnyebben gyártani. Fontos
azonban tudnunk, hogy csak a gömböc alakja a
fontos, anyaga nem, ugyanúgy talpra áll a műanyag,
mint a fémgömböc.
Kissé belemélyülve az egyensúlyi helyzeteket magyarázó
elméletbe, Domokos elmondta, hogy a gömböcből
az összes, több egyensúlyi állapottal rendelkező
test levezethető, és a gyakorlatban is át lehet alakítani
a gömböcöt úgy, hogy két, három vagy több
egyensúlyi állapota legyen. Fordítva ez nem működik,
tehát nincs olyan algoritmus, amely segítségével
egy több egyensúlyi állapottal rendelkező testből
gömböcöt lennénk képesek készíteni.
Nagyon könnyen megérthető
az egyensúlyi helyzet fogalma, ha visszagondolunk
Kolumbusz tojására. Az ő feladata az volt, hogy csúcsára
állítson egy tojást. A tojásnak a két csúcsán két
instabil egyensúlyi pontja van, tehát amint némileg
kimozdulnak ebből a pozícióból, oda többé már nem
térnek vissza. Kolumbusz úgy oldotta meg a feladatot,
hogy odaütötte a tojást az asztalhoz, ezzel egy kis
horpadás keletkezett rajta. Domokos szerint így egy
új egyensúlyi pontot hozott létre a tojáson, amely immár
stabil volt. A korábban létező egyensúlyi pontok
környezetében könnyebb új egyensúlyi pontot létrehozni,
eltüntetni viszont sokkal nehezebb.
A gömböc létének matematikai bizonyításával a
kutatás tudományos része lezárult. A tárgyak gyártására
és kereskedelmi forgalomba hozatalára a feltalálók
egy magánvállalkozást alapítottak, a Gömböc
Kft.-t. Bár ma már bárki rendelhet magának gömböcöt
az interneten, jelenleg e tárgyak nagyon drágák. A
megrendelt darabokat sorszámozzák, és minél alacsonyabb
sorszámú gömböcöt szeretnénk megvásárolni,
az ára annál magasabb. A 2000 körüli sorszámú
gömböcök nagyjából 200 ezer forintba kerülnek, ami
a gyártási költségen felül tisztes hasznot biztosít a feltalálóknak,
a tíz alattiak árának határa viszont a csillagos
ég. Az első számú gömböcöt a feltalálók Arnoldnak
ajándékozták hetvenedik születésnapjára. A
kettes számú huszonötmillió forint, és a feltaláló
megengedte, hogy beszélgetésünk közben játszhassunk
ezzel az apró tárggyal, amelynek ára egy Mercedesével
vetekszik. Miközben a kezemben tartottam,
folyton az járt a fejemben, hogy mi lesz, ha leejtem és
eltörik. Egy alig kilenc centiméteres, borostyánszín
csillogó labda gurul ide-oda az íróasztalon. Amikor
megakad egy pillanatra, mielőtt átbillenne egy peremen,
az ember aggódik kissé, hogy mégsem talál
vissza a talpára, de végül mindig sikerül neki. A
gömböc működik.
Ezt a kettes számút már bárki megvásárolhatja.
Domokos elmondása szerint az alacsony sorszámú
gömböcök azért ennyire drágák, hogy aki támogatni
akarja a kutatást, egy ilyen gömböc megvételével megtehesse
ezt. A legalacsonyabb sorszámú, amit eddig
megvettek, a százas volt. Ez a különlegesen nagy gömböc
látható kiállítva a Művészetek Palotájában. Az ezer
alatti sorszámú gömböcökből eddig négy-öt kelt el, az
eddigi vásárlók között volt Jimmy Carter amerikai elnök
egyik tanácsadója. Volt olyan gazdag vevő, aki a
saját születési évszámának megfelelő gömböcöt vette
meg, mások ajándékba vagy gyermekjátéknak vásároltak
gömböcöt. Ennél komolyabb célra használja a
tárgyat az a matematikus, aki előadásain mutatja be
segítségével az egyensúlyi helyzetek fogalmát.
- A matematikusok százszámra vásárolnának
gömböcöket, csak nekik nincs pénzük - érzékelteti
kissé keserédesen az érdeklődést Domokos. Bár már
harminc gömböcöt eladtak, a cég még távol van a nyereségességtől.
A gömböc szabadalmi védettsége a világ
számos országában hatmillió forintot emésztett
föl, amelyet teljes egészében Domokos Gábor fedezett.
A magas ár a magas gyártási költségekből (is) fakad.
A gömböcöket jelenleg olyan műgyantából készítik,
amely ibolyántúli fényre szilárdul meg. Mivel
nagyon nagy pontosságot igényel (mérettűrése alig
egytized milliméter), egy különleges gyártási technológiával,
úgynevezett térbeli nyomtatással készül, a
nyomtató pedig hatvanmillió forintba kerül. Úgy
képzelhetjük el a gyártási folyamatot, mintha egy levelet
nyomtatnánk a tintasugaras nyomtatónkkal. A
nyomtatófej rengetegszer elhalad a munkadarab felett,
egy elhaladásakor tizenhat mikron (a milliméter
ezredrésze) vastag műgyantaréteget permetez az egyre
növekvő gömböc tetejére. Ez igen lassú folyamat,
egyetlen darab elkészítése tizenkét órát vesz igénybe.
A gömböc, ha megsérül, akár csak egy apró szilánk
lepattan belőle, máris elveszíti különleges tulajdonságát,
javítani pedig nem lehet. A homogenitás olyan
fontos, hogy a közepén lévő felirat képezte tubus is a
műgyantával azonos sűrűségű anyaggal van kitöltve.
A feltalálók jelenleg azon dolgoznak, hogy olcsóbb
technológiát találjanak, amelynek segítségével megindulhat
a gömböcök tömeggyártása, és áruk lejjebb
szorítható.
Hamar világhírnévre tett szert a gömböc. A Mathematical
Intelligencer matematikai szaklap címlapján
a Rubik-kocka óta először szerepelt magyar találmány,
és ez a gömböc volt. Ez annak fényében még
nagyobb dolog, hogy más nemzetek találmányai szinte
egyáltalán nem kerültek fel a címlapra.
A 2010-es sanghaji világkiállítás magyar pavilonjának
egyik fő attrakciója lesz a gömböc, amely Domokos
szerint alkalmas lehet arra, hogy egy könnyen
megjegyezhető szimbólummal segítse Magyarország
megismertetését.
Talán a biológusok fantáziáját
mozgatta meg a leginkább a gömböc felfedezése. A
tekintélyes Nature című angol tudományos szaklap
is beszámolt arról, hogy a gömböc formája hasonlít
bizonyos teknősfajok páncéljára. Domokos és Várkonyi,
miután felismerték e hasonlóságot, egy éven
keresztül keresték azokat a teknősöket, amelyek
páncélja imitálja a gömböc formáját. Találtak is néhány
ilyen fajt, és meglepődve tapasztalták, hogy a
tudományos közvéleményben a teknőspárhuzam
visszhangja volt a legerősebb. Ekkor érezték azt,
hogy a gömböc több, mint egy matematikai feladvány,
alakja a természetbeli formákról árul el nekünk
valamit. Az egyik ilyen formájú páncéllal rendelkező
teknősfaj az indiai csillagteknős, amely csak
a trópusokon él. Ennek az az oka, hogy az evolúció
során a gömböc alak nem tudott azonnal kialakulni,
először egy igen magas hátpáncélt kellett kifejleszteni.
A magas páncélzat eredetileg a hőszabályozást segítendő
alakulhatott ki, illetve védelmet nyújthatott
a ragadozók állkapcsai ellen. Amint elég magassá
vált, az evolúció "rájött arra", hogy egy kis változtatással
a páncélon a teknős könnyebben visszafordul,
amikor felborul.
A gömböc további sorsa már nem a feltalálók kezében
van, ők azt várják, hogy a legkülönfélébb tudományterületeken
fogja felfedezésre inspirálni a kutatókat.
A hivatalos honlapon már több mint ötmillió
találat volt, a világ szinte valamennyi kutatóintézetéből.
A gömböc egyik lehetséges alkalmazása az űrkutatásban
használt eszközök tervezésében lehet. Ha a
mérnökök olyan űrszondát építenének, amely eléggé
homogén belső szerkezettel rendelkezik, és formája
hasonlít a gömböcre, akkor minimális energiabefektetéssel
talpra tudna állni például egy marsi landolást
követően.
Van persze más ötlet is.
- Ha egy gömböc árát néhány ezer forintra tudnánk
leszorítani, kiosztanánk sok ilyet kisgyerekek
között, és megfigyelnénk, hogy mit csinálnak vele. A
gyermekek még olyan dolgokra emlékeznek, amelyeket
a felnőttek már elfelejtettek, és esetleg olyan mechanikai,
geometriai tulajdonságait értik meg a gömböcnek,
amelyeket mi végeláthatatlan képletek alapján
sem vagyunk képesek felfogni - foglalja össze jövőbeli
terveit a feltaláló.
2008. április 12.
